I sistemi biologici costituiti da cellule ed elementi del citoscheletro possono organizzarsi in una fase nematica, in cui fibre allungate si allineano parallelamente tra loro, generando un ordine orientazionale parziale. Questo ordine può essere descritto da un campo macroscopico di direttori, che riflette l’orientamento locale delle fibre. I difetti topologici nell’ordine nematico corrispondono a singolarità di questo campo e sono piuttosto comuni; essi vengono classificati in base alla loro carica topologica.

L’emergere dell’ordine nematico da una disposizione inizialmente isotropa o disordinata delle fibre su superfici chiuse e deformabili gioca un ruolo cruciale nella morfogenesi della materia biologica attiva. Un esempio significativo è la rigenerazione di Hydra, un piccolo invertebrato d’acqua dolce: un frammento asportato si richiude inizialmente in una superficie sferica in uno stato approssimativamente isotropo e solo successivamente le fibre di actina del tessuto epiteliale organizzano un ordine nematico. Su una superficie con topologia sferica, la formazione di difetti topologici è inevitabile, e la carica totale dei difetti deve essere pari a +2.

In questo lavoro presento un modello continuo che accoppia il tensore d’ordine bidimensionale di Landau-de Gennes, che descrive l’ordine nematico planar, con la meccanica di una membrana sferica deformabile e a massa conservata. Studiando la transizione di fase isotropico-nematico, indotta da una diminuzione di temperatura che simula l’attivazione naturale dell’ordine nematico nelle fibre actomiosiniche, realizziamo sia un’analisi lineare sia un’analisi di biforcazione debolmente non lineare. Mostriamo che l’insorgenza dell’ordine nematico rompe spontaneamente la simmetria sferica, generando morfologie di equilibrio distinte che dipendono dalla deformabilità della membrana.

Le configurazioni assialsimmetriche, caratterizzate da due difetti topologici +1 ai poli, emergono tramite una biforcazione discontinua (transcritica), dando luogo a una forma prolata stabile, con allineamento meridiano dei direttori, e a una forma oblata metastabile. Le configurazioni non assialsimmetriche, invece, presentano quattro difetti +1/2 disposti in geometria quadrata e emergono tramite una biforcazione continua (supercritica). La morbidezza della membrana determina la natura di primo ordine (discontinua) della transizione; nel limite di rigidità infinita, infatti, tutte le biforcazioni diventano continue. Inoltre, i difetti interi si accoppiano fortemente con la ridistribuzione locale di massa, causando assottigliamento o ispessimento della membrana, mentre i difetti semi-interi non inducono deformazioni locali. Questi risultati forniscono un quadro puramente meccanico per comprendere la formazione dell’asse corporeo, che determina la futura posizione di testa e piede dell’ Hydra, e la morfogenesi mediata dai difetti nelle vescicole biologiche.