Ciclo di seminari informali di analisi numerica e matematica applicata rivolto agli studenti.
L’obiettivo degli incontri è di presentare in maniera accessible argomenti di ricerca di analisi numerica e coinvolgere gli studenti interessati. I seminari avranno una prima parte introduttiva e saranno accessibili anche a chi non ha dimestichezza con l’argomento. Si terranno principalmente in italiano, in linea con il tono informale del ciclo.
Sono incoraggiati a partecipare studenti della magistrale e studenti della triennale che abbiano familiarità con i contenuti del corso di Calcolo Scientifico.
Organizzato da dottorandi dell’Università di Pisa e della Scuola Normale Superiore.
L’equazione di Mackey–Glass è divenuta un riferimento fondamentale nell’ambito delle equazioni differenziali con ritardo (DDE). Da un punto di vista strettamente matematico, essa rappresenta un importante banco di prova per lo sviluppo di nuove tecniche analitiche e per la validazione di metodi computazionali avanzati.
Nonostante la grande attenzione ricevuta in quasi mezzo secolo di studi, la dimostrazione rigorosa del caos nell’equazione di Mackey–Glass costituisce ancora un problema aperto. Numerose simulazioni numeriche hanno tuttavia evidenziato la natura caotica di questo sistema.
Ispirandoci al pionieristico lavoro di Lorenz, in questo seminario presentiamo diversi risultati computazionali che mostrano la presenza di mappe tenda nella dinamica dell’equazione di Mackey–Glass. Uno studio approfondito delle mappe tenda associate alla dinamica di questo sistema non è stato ancora fornito. L’evidenza numerica della presenza di tali mappe può costituire un forte indicatore di comportamento caotico, dato che la loro iterazione dà luogo a dinamiche caotiche. I nostri risultati più recenti forniscono la seguente evidenza numerica: per determinati valori dei parametri, per una data condizione iniziale e per un certo intervallo I, è possibile individuare una successione di punti critici (Mn)n della corrispondente soluzione, appartenenti ad I, tale che la rispettiva mappa di ritorno approssimi arbitrariamente bene il grafico di una qualsiasi mappa tenda F : I → I.
I circuiti quantistici implementano naturalmente operazioni unitarie, mentre molte applicazioni richiedono operazioni non unitarie. I block encoding consentono di realizzare tali trasformazioni introducendo qubit ancilla e utilizzando misure per realizzare efficacemente l’operazione desiderata. Nonostante la loro rilevanza teorica, i block encoding rimangono spesso impraticabili sull’hardware quantistico attuale a causa delle elevate risorse richieste. Una tecnica di costruzione standard è il framework Linear Combination of Unitaries (LCU), che è generale e potente, ma comporta tipicamente un considerevole overhead in termini di gate. Per affrontare questa limitazione, abbiamo introdotto Fast One-Qubit-Controlled Select LCU (FOQCS-LCU), una formulazione compatta di LCU che sfrutta la struttura dell’Hamiltoniana sottostante. Esprimendo l’Hamiltoniana come combinazione lineare di prodotti tensoriali di operatori di Pauli, la nostra costruzione richiede un numero lineare di qubit ancilla e consente un’implementazione a depth costante dell’oracolo SELECT, costituita da due livelli completamente parallelizzabili di gate di Pauli controllati da un singolo qubit. Abbiamo sviluppato inoltre una famiglia parametrizzata di routine per la preparazione degli stati di Dicke, riducendo il numero di gate rispetto agli approcci standard. Basandoci su queste tecniche, abbiamo derivato circuiti di block encoding espliciti per modelli fisici rappresentativi, tra cui i modelli di Heisenberg e di Fermi–Hubbard, e abbiamo fornito stime non asintotiche delle risorse. Infine, abbiamo esteso il nostro approccio alle trasformazioni polinomiali di matrici attraverso il framework FOQCS-LCU. I circuiti risultanti possono essere controllati con un overhead trascurabile, consentendo implementazioni efficienti di sottoprogrammi quali gli Hadamard test. Questi risultati forniscono un framework pratico per block encoding efficienti dal punto di vista delle risorse e per le loro estensioni all’algebra lineare.
TBA
