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 14:30 – 17 ottobre 2023

Alberto Bucci (Università di Pisa)

Nikita Deniskin (Scuola Normale Superiore)

Igor Simunec (Scuola Normale Superiore)

Aula Magna, Dipartimento di Matematica

Presentazione seminari PYSANUM

In questo primo incontro presenteremo PYSANUM. Primo ciclo di seminari di analisi numerica rivolto agli studenti!

16.00 – 25 ottobre 2023

 Chiara Faccio (Scuola Normale Superiore)

 Aula Riunioni, Dipartimento di Matematica

 Caratterizzazione strutturale dell’acqua liquida:
un approccio computazionale basato sulla teoria dei grafi

L’acqua liquida, oltre ad essere fondamentale per la vita sulla Terra, ha da lungo tempo affascinato gli scienziati a causa di diverse anomalie. Nel corso degli anni sono state avanzate diverse ipotesi per spiegare queste particolarità. La più accreditata prevede la presenza nella regione super-raffreddata di due fasi a densità diverse: la fase liquida a bassa densità (LDL) e la fase liquida ad alta densità (HDL). Nel nostro lavoro [1], abbiamo dimostrato che è possibile identificare queste due forme nelle reti d’acqua attraverso un approccio computazionale basato sulle simulazioni di dinamica molecolare e sul calcolo della Comunicabilità Totale (Total Communicability) del grafo associato [2], dove i nodi rappresentano le molecole d’acqua e gli archi le connessioni (interazioni) tra di esse. In un lavoro successivo [3], abbiamo approfondito l’applicazione della teoria delle reti, esaminando varie misure di connettività, centralità e metriche globali, con l’obiettivo di fornire una caratterizzazione topologica e geometrica dell’acqua liquida.
 

Lavoro congiunto con Michele Benzi (Scuola Normale Superiore), Isabella Daidone (Dipartimento di Scienze Fisiche e Chimiche, Università dell’Aquila) e Laura Zanetti-Polzi (Centro S3, Istituto di Nanoscienze del CNR, Modena)

[1] C. Faccio, M. Benzi, L. Zanetti-Polzi, & I. Daidone, Low-and high-density forms of liquid water revealed by a new medium-range order descriptor. Journal of Molecular Liquids, 355, 118922, 2022.
[2] M. Benzi, & C. Klymko, Total communicability as a centrality measure. Journal of Complex Networks, 1(2), 124-149, 2013.
[3] M. Benzi, I. Daidone, C. Faccio, and L. Zanetti-Polzi. ‘Structural analysis of water networks’. Journal of Complex Networks, 11(1):cnad001, 01 2023.

 16.00 – 14 novembre 2023

Michele Rinelli (Scuola Normale Superiore)

Aula Seminari, Dipartimento di Matematica

Calcolo della traccia di funzioni di matrici mediante stimatori stocastici e probing

Le funzioni di matrici [1] sono un potente strumento dell’algebra lineare numerica per l’analisi di vari problemi provenienti dalle applicazioni. Tra gli esempi più noti vi sono l’inversa, per il ruolo nella risoluzione di sistemi lineari, e l’esponenziale, per il ruolo nelle equazioni differenziali. In altri casi è richiesto il calcolo della traccia tr(f(A)), dove f(A) è una generica funzione della matrice A. 
 
Cominciamo il seminario richiamando alcuni concetti di base sulle funzioni di matrici [1] per poi concentrarci sul calcolo della traccia. Esploriamo alcuni metodi stocastici, quali lo stimatore di Hutchinson, Hutch++ [2] e Xtrace [3], e i metodi probing [4] per il caso in cui A sia sparsa, basati sul calcolo di una d-colorazione del grafo associato ad A e che beneficiano delle proprietà di decadimento in f(A). In particolare, la recente combinazione tra Hutchinson e probing [5] mostra un miglior scaling dell’errore con la dimensione rispetto al probing deterministico e si rivela essere un approccio competitivo tra quelli nello stato dell’arte.

[1] N.J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, USA, 2008.
[2] R. A. Meyer, C. Musco, Ch. Musco, and D. P. Woodruff, Hutch++: Optimal stochastic trace estimation, Symposium on Simplicity in Algorithms (SOSA), SIAM, 2021, pp. 142–155.
[3] E. N. Epperly, J. A. Tropp, and R. J. Webber, Xtrace: Making the most of every sample in stochastic trace estimation, arXiv preprint arXiv:2301.07825 [math.NA], 2023.
[4] A. Frommer, C. Schimmel, M. Schweitzer: Analysis of probing techniques for sparse approximation and trace estimation of decaying matrix functions. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 42(3), 1290–1318, 2021.
[5] A. Frommer, M. Rinelli, and M. Schweitzer. Analysis of stochastic probing methods for estimating the trace of functions of sparse symmetric matrices, arXiv preprint arXiv:2308.07722 [math.NA], 2023.

 16.00 – 27 novembre 2023

Martina Iannacito (KU Leuven)

Aula Riunioni, Dipartimento di Matematica

Introduzione ai tensori: dalle applicazioni alle sfide contemporanee

Per oltre un secolo, i matematici sono stati affascinati dallo studio delle proprietà di famiglie di matrici. Gli oggetti con cui allora iniziarono a confrontarsi sono oggi noti come tensori o array multidirezionali. Lo studio dei tensori ha acquisito particolare rilevanza grazie alle molteplici applicazioni in cui forniscono importanti benefici. Queste strutture matematiche multidimensionali garantiscono l’unicità della fattorizzazione (sotto ipotesi non eccessivamente complesse), consentono rappresentazioni più adatte di fenomeni complessi e delle loro intricate interazioni. Infine, se rappresentati in modo ottimale, i tensori offrono vantaggi computazionali. Tutte queste loro proprietà hanno aperto diverse nuove direzioni di ricerca in campo matematico, numerico e computazionale.
Nella prima metà di questa presentazione, esamineremo problemi provenienti da applicazioni concrete in cui i tensori sono stati di innovazione. Contemporaneamente, verrà fornita una panoramica di alcune tecniche di decomposizione tensoriale che meglio si adattano al problema considerato di volta in volta.
Il focus della seconda parte si sposterà sulle sfide contemporanee incontrate nello sviluppo di tecniche basate su array multidimensionali, e nell’implementazione di nuovi algoritmi per la fattorizzazione tensoriale. Questa discussione offrirà spunti di riflessione sul panorama in evoluzione della ricerca sui tensori, evidenziandone la rilevanza e il potenziale.

16.00 – 12 dicembre 2023

Alessandro Filippo (Roma Tor Vergata)

Aula Seminari, Dipartimento di Matematica

Reti complesse: Robustezza, indici di centralità e nuove strategie per il ranking dei nodi

Determinare quali siano i nodi più importanti in una rete complessa è uno dei problemi principali dell’analisi delle reti. Tale problema, anche noto come il problema del ranking, viene tipicamente risolto attraverso il calcolo delle misure di centralità.

Tuttavia, cambiamenti strutturali improvvisi, quali la rimozione di alcuni nodi o archi, possono invalidare la nostra conoscenza dei nodi più critici. Per esempio, nodi dapprima cruciali potrebbero perdere tutta la loro importanza qualora rimanessero isolati.
Quindi, per studiare l’impatto della rimozione dei nodi più influenti da una rete, sarebbe necessario ricalcolare costantemente le misure di centralità, un’operazione spesso impraticabile per reti di grandi dimensioni. Al contrario, evitare del tutto il ricalcolo potrebbe fornire una rappresentazione della realtà poco accurata.

In questo talk illustrerò due nuove strategie per ridurre il costo computazionale del calcolo sequenziale delle centralità, fornendo giustificazioni teoriche a supporto. Infine, mostrerò come sia possibile impiegare queste strategie per valutare la robustezza di una rete ad attacchi mirati.
 

Tratto da un lavoro in collaborazione con Daniele Bertaccini.

D. Bertaccini, A. Filippo. A proposal for ranking through selective computation of centrality measures. PLOS ONE, 18, 2023.

14.30 – 12 febbraio 2024

 Miryam Gnazzo (Gran Sasso Science Institute)

Aula Seminari, Dipartimento di Matematica

 Un oracolo per la risoluzione di problemi di matrix nearness

Data una matrice A, un problema di matrix nearness consiste nel trovare la matrice più vicina ad A all’interno di un insieme specifico di matrici, misurando la distanza in una norma matriciale. Ad esempio trovare la matrice singolare più vicina data una matrice invertibile rientra in questa classe di problemi. In alcuni casi può essere utile estendere questa classe di problemi, considerando polinomi di matrici, cioè polinomi i cui coefficienti sono matrici.

Nella prima parte di questa presentazione, ci sarà un’introduzione ai problemi di matrix nearness e alla loro estensione ai polinomi di matrici, con alcuni esempi di applicazioni. Nella seconda parte, invece, scenderemo nei dettagli, descrivendo come poter interpretare i problemi di matrix nearness come problemi di ottimizzazione su un opportuno insieme di matrici. Infine presenterò un nuovo approccio che utilizza un oracolo per ottenere informazioni sulla soluzione del problema di matrix nearness.

Lavoro congiunto con Vanni Noferini (Aalto University), Lauri Nyman (Aalto University) e Federico Poloni (Università di Pisa).

[1] M. Gnazzo, V. Noferini, L. Nyman, F. Poloni. The Oracle of Breselenz: a general-purpose Riemannian optimizer to solve nearness problems in matrix theory, in preparation (2024).

16.00 – 21 marzo 2024

Francesco Hrobat (Scuola Normale Superiore)

Aula Seminari, Dipartimento di Matematica
 Calcolo della SVD tramite funzioni di Zolotarev

In questo seminario verranno presentati due algoritmi recenti (ZOLO-PD e QDWH) che forniscono la base per nuovi algoritmi paralleli per il calcolo della SVD e della decomposizione agli autovalori simmetrica.

Gli algoritmi presi in esame si basano sul calcolo della decomposizione polare di una matrice, la quale viene costruita tramite la funzione segno di una matrice. La funzione segno matriciale può essere a sua volta calcolata con elevata precisione attraverso approssimazioni razionali su intervalli simmetrici reali della stessa funzione segno. Ciò conduce naturalmente alla teoria dell’approssimazione e, in parte, alla teoria delle funzioni ellittiche. Lo studio dettagliato dell’approssimazione razionale ottimale della funzione segno è stato condotto da Zolotarev, focalizzandosi in particolare su due problemi, noti oggi come terzo e quarto problema di Zolotarev.

14.30 – 12 aprile 2024

Ivan Bioli (Università degli Studi di Pavia)

Aula Riunioni, Dipartimento di Matematica

 Introduzione all’ottimizzazione Riemanniana e applicazioni a equazioni matriciali

Dato il problema di minimizzazione di una funzione costo f su una varietà Riemanniana immersa M, l’ottimizzazione Riemanniana offre un’alternativa al tradizionale approccio di trattare il problema come un’ottimizzazione Euclidea vincolata, generalizzando gli algoritmi di ottimizzazione Euclidea non vincolata per operare direttamente sullo spazio ambiente curvo M.

Nella prima parte di questo seminario, esamineremo i concetti fondamentali della geometria differenziale e Riemanniana, rivolgendoci anche a un pubblico non ancora familiare con tali argomenti. Successivamente, approfondiremo come l’algoritmo di discesa del gradiente possa essere esteso alla sua versione Riemanniana. Infine, esploreremo applicazioni pratiche. Come primo esempio didattico, discuteremo il calcolo degli autovalori estremi di una matrice simmetrica tramite la minimizzazione del quoziente di Rayleigh. Successivamente, illustreremo come per la risoluzione di equazioni matriciali lineari l’ottimizzazione Riemanniana si dimostri competitiva con gli algoritmi stato dell’arte.

Per approfondimenti teorici sull’argomento, consigliamo l’eccellente libro di N. Boumal [2]. Per iniziare a sperimentare gli algoritmi di ottimizzazione Riemanniana, raccomandiamo la toolbox Manopt [1].

References:
[1] Nicolas Boumal et al. “Manopt, a Matlab Toolbox for Optimization on Manifolds”. In:
Journal of Machine Learning Research 15.42 (2014), pp. 1455–1459.
[2] Nicolas Boumal. An introduction to optimization on smooth manifolds. Cambridge
University Press, 2023.

14.30 – 29 aprile 2024
Umberto Zerbinati (University of Oxford)
Aula Riunioni, Dipartimento di Matematica
 Quasi-ottimalità del metodo agli elementi finiti per l’equazione di Helmholtz
Per iniziare discuteremo come la quasi-ottimalità del metodo agli elementi finiti per il problema di Helmholtz dipende dalla taglia degli elementi della mesh e dal numero d’onda. In particolare, mostreremo l’argomentazione di Schatz per garantire la quasi-ottimalità del metodo di Galerkin. Proporremo poi un criterio alternativo basato sulla T-coercività e T-coercività debole che metta in risalto la relazione tra la taglia della mesh e la distanza del numero d’onda dagli autovalori del Laplaciano. Infine proporremo un metodo adattativo per costruire un mesh, ottima rispetto al numero di gradi di libertà, sulla quale è garantita la quasi ottimalità degli elementi finiti.

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