La decomposizione ai valori singolari (SVD) è uno strumento fondamentale dell’algebra lineare numerica, ma per matrici di enormi dimensioni il suo costo computazionale è proibitivo. L’approssimazione dei valori singolari è quindi cruciale in vari campi della matematica, dell’ingegneria e data science. Questa operazione è spesso parte di processi più ampi nei quali è possibile ottenere un’approssimazione dei sottospazi singolari tramite metodi come la bi-diagonalizzazione di Golub-Kahan, iterazioni sui sottospazi o tecniche randomizzate.

In questa presentazione introdurremo strumenti per estrarre valori singolari da approssimazioni ortonormali di sottospazi singolari, esaminando tecniche classiche come Rayleigh-Ritz e la proiezione SVD (su un lato), confrontandole con approcci più recenti come la SVD randomizzata (HMT) e il metodo di Nyström generalizzato (GN), che forniscono approssimazioni sorprendentemente significamente più accurate. Includeremo la necessaria introduzione alle approssimazioni di basso rango, un altro grande problema legato alla SVD, e alla randomizzazione, tecnica di grande impatto nell’algebra lineare numerica.

Analizzeremo infine l’accuratezza di queste tecniche utilizzando la teoria delle perturbazioni di matrice, per confrontare i vari metodi e giustificare le osservazioni dedotte da esperimenti numerici.